基于局部态密度的单纯形复合体高效稀疏化

单纯形复合体（Simplicial Complex, SC）已成为使用拓扑数据分析或拓扑信号处理工具分析复杂数据时的流行抽象。然而，许多真实数据集的分析常导致密集的 SC，包含大量高阶单纯形，导致时间和内存消耗的计算要求不可接受。因此，对此类复合体进行稀疏化成为广泛关注的焦点，即用稀疏替代复合体（通常仅包含对数线性数量的单纯形）来近似原始复合体，最大限度地保持原始复合体的光谱。本文发展了一种新的单纯形复合体概率稀疏化方法，利用所谓的局部态密度（local densities of states）。通过运用这些局部态密度，我们可以高效地逼近每条单纯形的所谓广义有效电阻，从而确定稀疏化所需的抽样概率。为避免相应 Hodge 拉普拉斯算子谱中出现的退化结构，我们建议采用“忽略内核”（kernel-ignoring）分解来近似抽样概率。此外，我们利用某些误差估计来刻画所develop方法的渐进算法复杂度。我们在一组 Vietoris--Rips 过滤单纯形复合体上展示了该框架的性能。