对称保持边信息下 $\mathbb{Z}^d$ 上 $\mathbb{Z}_2$ 同步的高效算法

我们考虑欧几里得格上的 $\mathbb{Z}_2$-同步。$\mathbb{Z}^d$ 的每个顶点被赋予一个独立的对称随机符号 $\theta_u$,对于格的每条边 $(u,v)$,以独立概率 $p$ 观测到翻转后的乘积 $\theta_u\theta_v$。任务是重构任意远离的顶点对 $u$ 和 $v$ 的乘积 $\theta_u\theta_v$。Abbé、Massoulié、Montanari、Sly 和 Srivastava (2018) 证明了当且仅当 $p$ 低于临界阈值 $\tilde{p}_c(d)$ 时可实现同步,且在 $p$ 足够小时可高效实现。我们用一个保持 $\theta$ 符号对称性的边信息模型扩充该同步设定,并提出一种\emph{高效}算法,在平均意义下对随机选取的远离顶点对实现同步,直至一个不同定义的临界阈值 $p_c(d)$。我们猜想对所有 $d \ge 2$ 有 $p_c(d)=\tilde{p}_c(d)$。我们的策略是\emph{重整化}同步模型以降低有效噪声参数,然后应用 AMMSS 多尺度算法的一个变体。重整化过程的成功依赖于关于 $\mathbb{Z}^d$ 上 Ising 自旋玻璃模型自由能正则性的一个合理但未证明的假设。