随机能观性与能构性的对偶性及其与 Fisher 信息的联系

给定一组测量，能观性表征系统初始状态的可区分性，而能构性则关注轨迹的最终状态。在存在过程和/或测量噪声的情况下，关于初始和最终状态的 Fisher 信息矩阵——等价于随机能观性与能构性 Gramian——通过 Cram\'er-Rao 不等式界定了相应估计器的性能。本文建立了离散时间线性系统的随机能观性与能构性之间的联系，并提供了一种数值上更稳健的随机能观性 Gramian 计算方法。我们定义了一个对偶系统，并证明了对偶系统的随机能构性等价于原系统的随机能观性，反之亦然。这种对偶性使得能观性与能构性的定理和工具可以互换使用。例如，我们利用这一结果将随机能构性 Gramian 的现有递推公式转化为适用于时变和时不变系统随机能观性 Gramian 的递推计算公式，且该序列对于后者是收敛的。最后，我们通过数值算例说明了我们的公式相较于现有（非递推）公式的稳健性。