Frank--Wolfe 算法的对偶价格

在本注记中我们观察到，对于在多胞形 P 上的约束凸最小化问题 $\min_{x \in P}f(x)$，由在近似最优解 $x$ 处线性化得到的线性规划 $\min_{z \in P} \nabla f(x) z$ 的对偶价格，具有与线性规划中类似的关于最优值变化率的含义，从而提供了一种凸形式的敏感性分析。这对于 Frank--Wolfe 算法（也称为条件梯度法）尤为有趣，该类算法构成了一类重要的一阶方法，其基本构建模块是在 P 上对 f 的梯度进行线性最小化，而在大多数实现中已作为副产物计算了对偶价格。