对数局部哈姆顿量函数的归一化迹估计的 DQC1 完备性

我们研究估计作用于 $n$ 量子比特上的对数局部哈姆顿量 $A$ 的函数 $f(A)$ 的归一化迹 $2^{-n}Tr[f(A)]$ 的计算复杂性。该问题自然出现在 DQC1 模型中，然而其复杂性仅被理解于有限类别的函数 $f(x)$。我们表明，如果 $f(x)$ 为具有近似次数 $\Omega({\rm poly}(n))$ 的连续函数，则在 $f(x)$ 的多项式近似误差满足技术条件时，对 $2^{-n}Tr[f(A)]$ 的常数添加误差估计是 DQC1 完备的。该条件适用于广泛的函数类别，包括指数函数、三角函数、对数函数和倒数类函数。我们进一步证明，当 $A$ 为稀疏矩阵时，该问题的经典查询复杂度在近似次数下的指数级（假设 DQC1 查询模型中某迹变体的 $k$-Forrelation 问题具有 conjectured 下界）。这些结果确定近似次数是归一化迹估计复杂性的关键参数：它既通过高效 DQC1 算法 characterize 了量子复杂性，也在条件下characterize 了经典困难性，从而产生指数级的量子-经典分离。我们的证明发展了一个统一框架，干净地结合了电路到哈姆顿量的构造、周期 Jacobi 算子以及来自多项式逼近理论的工具，包括 Chebyshev equioscillation 定理。