移动边界问题的区域变分

在过去几十年中，极大正则性理论已成功应用于移动边界问题。其基本思想是将具有变化区域的系统约化为固定区域上的系统。这通过一个变换（所谓的 Hanzawa 变换）实现，并产生一个典型的非局部非线性耦合（发展）方程组。一旦证明相关的线性化是解析半群的生成元或具有极大正则性，适定性结果通常便可建立。为实施这一方案，需要以某种方式参数化边界/区域的空间（在欧氏设定下，通常是 $\mathbb{R}^n$ 中紧超曲面 $\Gamma$ 的空间）。这传统上通过前述 Hanzawa 变换实现。该方法虽成功，但需要引入一个靠近关心线性化的流形 $\Gamma_0$ 的光滑流形 $\Gamma_\infty$。这导致无法使用以 $\Gamma_0$ 为“中心”的坐标。结果，公式中往往包含一些项，若能从 $\Gamma_0$ 而非 $\Gamma_\infty$ 出发的邻域内进行线性化，这些项本不会出现。本文利用流（微分同胚曲线）结合超曲面流形的一种替代坐标化方法，得到了相关线性化的一般形式，该方法通过代之以 $\Gamma_0$ 上的“虚拟几何”，避免了引入“幻影”参考流形 $\Gamma_\infty$ 的需要。其好处在于对线性化结构的清晰洞察、简化的计算，以及所得线性算子的更简洁公式，这些在应用中非常有用。