两个相关伽马变量的归一化 dissimilarity 比的分布与矩

我们考虑两个服从相关伽马分布的随机变量 $X$ 和 $Y$，其由相同的尺度和形状参数以及线性相关系数 $\rho$ 决定。我们的关注点是参数：$$D(X,Y) = \frac{|X - Y|}{X + Y},$$ 该参数在应用领域中出现，例如被称为 \textit{Fujii index} 的动态斑块成像。在本工作中，我们推导了 $D(X,Y)$ 概率密度函数的闭式表达式以及其各阶矩 $k$ 的解析公式。我们的推导从将 $X$ 和 $Y$ 表示为来自圆形复高斯变量平方幅值的两个相关指数随机变量开始。通过考虑 $k$ 个独立指数随机变量的和，我们然后推导当 $X$ 和 $Y$ 为两个相关伽马变量时的联合密度。通过适当的变量变换，我们获得了 $D(X,Y)$ 的理论分布并对其矩进行解析计算。这些理论发现通过数值仿真得到验证，特别关注两个特定情况：零相关和单位形状参数。