圆周上的离散色散模型：普遍性与渐近结果

考虑一列质量 $m_0,m_1,...$ 均匀随机到达单位圆 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$（或离散情形下的 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$）上的点 $u_0,u_1,...$。到达后，每个质量都进行松弛阶段，期间发生可能的随机色散。该过程可模拟液体在多孔介质中的扩散等众多物理现象。在离散情形下，亦可建模包含随机位移政策的停车问题（与加法 coalescence 和线性探测哈希相关）。本文所考察的色散政策确保在时刻 $k$，在 $m_0,\cdots,m_{k-1}$ 的依次色散后，已覆盖区域的 Lebesgue 测度恰为 $m_0+\cdots+m_{k-1}$。此外，在进行给定质量的色散期间，已覆盖区域的连续增长，除非其与另一个已覆盖连通分量（CC）相合并。我们证明了已覆盖 CC 序列的普遍交换性。进一步证明这些 CC 之间的通用间距性质，并给出重要结论：若 $(u_i)$ 独立且具有旋转不变性，则未覆盖的 CC 数量服从仅由到达颗粒数目及总质量决定的参数的二项分布。此外，条件于 CC 数量，其自由 CC 的大小在连续情形下服从简单 Dirichlet 分布，此性质对任何色散政策及质量值均成立。我们还 characterize 了占据空间的分布。在论文第二部分中，我们研究这些模型的总费用，建立与加法 coalescent 的联系，并给出当质量数目趋于无穷大时，已覆盖空间的渐近表示。