用量子最优控制工具诊断贫瘠高原

变分量子算法（VQAs）因其在实现近期量子优势方面的潜力而受到相当关注。然而，要理解其可扩展性还需更多工作。VQAs 的一个已知缩放结果是贫瘠高原，即某些情形导致梯度指数级消失。通常的传言认为受问题启发的 ansatz 可避免贫瘠高原，但实际上关于其梯度缩放所知甚少。本工作中，我们采用量子最优控制的工具来开发一个框架，可诊断受问题启发的 ansatz 中贫瘠高原的存在与否。此类 ansatz 包括量子交替算子 ansatz（QAOA）、哈密顿变分 ansatz（HVA）等。借助我们的框架，我们证明对这些 ansatz 避免贫瘠高原并非总能得到保证。具体而言，我们展示 VQA 的梯度缩放依赖于系统的可控度，因此可通过由 ansatz 的生成元获得的动力学李代数 $\mathfrak{g}$ 来诊断。我们分析了 QAOA 与 HVA ansatz 中贫瘠高原的存在性，并强调了输入态的作用，因为不同的初始态可导致贫瘠高原的出现或消失。综上，我们的结果为可训练性感知的 ansatz 设计策略提供了框架，且不额外消耗量子资源。此外，我们给出了对可控系统（如自旋玻璃）用变分 ansatz 获取基态的不可能性结果。我们的工作建立了贫瘠高原的存在与 $\mathfrak{g}$ 维度缩放之间的联系。