魔鬼阶梯——具有多边形不变曲线的外台球旋转数

在本文中，我们讨论单参数族外台球桌不变曲线上的旋转数。给定一个凸多边形 $\eta$，我们可以通过从 $\eta$ 内部切去固定面积来构造一个外台球桌 $T$。$T$ 是分段双曲的，且多边形 $\eta$ 是 $T$ 在台球映射 $\phi$ 下的不变曲线。我们将证明，如果 $\beta$ 是外台球映射下具有有理旋转数 $\tau = p / q$ 的周期点，那么台球映射的第 $n$ 次迭代在 $\beta$ 处不是局部恒等映射。这证明了作为面积参数函数的旋转数 $\tau$ 是一个魔鬼阶梯函数。