多簇随机块模型中的检测：可达性猜想的证明、无环BP与信息-计算鸿沟

在一篇开启随机块模型现代研究的论文中，Decelle等人（由Mossel等人支持）提出了如下猜想：记$k$为平衡社区的数目，$a/n$为社区内连接概率，$b/n$为跨社区连接概率，并设$\mathrm{SNR}=(a-b)^2/(k(a+(k-1)b)$；对于任意$k \geq 2$，当$\mathrm{SNR}>1$（KS阈值）时，可以高效检测社区；而对于$k\geq 4$，在某些$\mathrm{SNR}<1$时可通过信息论方法检测社区。Massoulié、Mossel等人和Bordenave等人成功证明了对于$k=2$ KS阈值可高效达到，而Mossel等人证明了对于$k=2$无法在信息论上跨越该阈值。上述猜想对于$k \geq 3$一直未解。本文证明了该猜想，并将高效检测进一步推广到非对称SBM，给出了检测和KS阈值的广义概念。在高效部分，我们开发了线性化无环置信传播（ABP）算法，并证明能在时间$O(n \log n)$内检测任意$k$直至KS阈值的社区。实现这一点需要证明ABP在存在环的情况下的最优性，这是消息传递算法的一个挑战。论文进一步将ABP与带有广义阶数非回溯算子的幂迭代方法相联系，形式化了消息传递与谱方法之间的相互作用。对于信息论（IT）部分，一个采样典型聚类的非高效算法被证明能在$k=4$时打破KS阈值。所产生的鸿沟在某些情况下很大；若$a=0$，KS阈值读作$b \gtrsim k^2$而IT界读作$b \gtrsim k \ln(k)$，使得SBM成为信息-计算鸿沟的良好研究案例。