非普通涨落定理的推导

精确形式 $P(A)/P(-A)=e^A$ 的详细涨落定理仅存在于少数变量 $A$ 中，即功（Crooks 定理）、总熵变（Seifert 定理）等。然而，所谓的修正详细涨落定理也可以针对其他几个热力学变量来表述。区别在于修正关系包含一个依赖于 $A$ 的额外因子。该因子通常是量 $e^{-B}$ 的平均值，其中 $B\neq A$，且是相对于条件概率分布 $P(B|A)$ 而言的。相应的修正积分涨落定理也与其原始对应形式不同，不具有通常的 $\left<e^{-A}\right>=1$ 形式。文中简要讨论了这些关系在存在反馈情况下的推广。此处推导的结果旨在补充现有的涨落定理结果。附录中概述了导致这些推导的量子版本的步骤。