随机多项式的 Kostlan--Shub--Smale 模型的分解

设 $\cP_n$ 为 $\bbR^{m+1}$ 上 $n$ 次齐次多项式空间。我们考虑了与 $\cP_n$ 分解为 $\SO(m+1)$-不可约分量之和相关的一些系数的渐近行为。利用这些结果，我们证明了在单位球面 $S^m$ 上的 Sobolev 空间 $H^k(S^m)$ 中，随机 Kostlan--Shub--Smale 多项式 $u\in\cP_n$ 可以用低次多项式逼近，且误差很小、概率接近于 $1$。例如，如果 $l_n>\sqrt{(m+2k+8\ep)n\ln n}$，则对于所有足够大的 $n$，不等式 $\dist(u,\cP_{l_n})<An^{-\ep}\|u\|$ 以大于 $1-Bn^{-2\ep}$ 的概率成立，其中 $\dist$ 和 $\|\ \|$ 分别是 $H^k(S^m)$ 中的距离和范数，$\ep\in(0,1)$，且 $A,B$ 仅依赖于 $m$ 和 $k$。如果 $l_n>\ep n$，则逼近误差和概率偏离 $1$ 的程度均呈指数衰减。