最优复杂度下的数据稀疏多层协方差估计

我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 中紧集上协方差函数的 $\mathcal{H}^2$ 格式压缩与计算估计。经典的样本协方差或蒙特卡洛估计器对于许多实际相关问题而言代价过高，这类问题往往需要具有大量自由度的近似空间以及估计器的大量样本。在本文中，我们提出并分析了一种数据稀疏多层样本协方差估计器，即一种多层蒙特卡洛估计器。为此，我们将渐近光滑核函数的概念推广到一类 Gevrey 型核函数，并针对其推导了新的变阶 $\mathcal{H}^2$ 近似率。这些变阶 $\mathcal{H}^2$ 近似可视为 $hp$ 近似的一种变体。我们的多层样本协方差估计器随后使用变阶 $\mathcal{H}^2$ 近似的近似多层层次结构来压缩每一层上的样本协方差。不同层次的非嵌套性使得归约至最终估计器并非平凡，我们给出了一种能在线性复杂度下处理该任务的合适算法。这使得 Gevrey 协方差核函数的数据稀疏多层估计器达到了蒙特卡洛型多层估计器的最佳可能复杂度，即二次复杂度。文中给出了估计具有数百亿个元素的协方差矩阵的数值算例。