稀疏图上参数化计数问题的数据压缩

我们研究了\emph{压缩器}(compactor)的概念,它可视为计数参数化复杂性中核化(kernelization)的计数类比。对于函数 $F:\Sigma^*\to \Bbb{N}$ 与参数化 $\kappa: \Sigma^*\to \Bbb{N}$,一个压缩器 $({\sf P},{\sf M})$ 由一个多项式时间可计算函数 ${\sf P}$(称为\emph{冷凝器}(condenser))和一个可计算函数 ${\sf M}$(称为\emph{抽取器}(extractor))组成,使得 $F={\sf M}\circ {\sf P}$,并且对任意输入 $x\in \Sigma^*$,$x$ 的冷凝结果 ${\sf P}(x)$ 长度至多为 $s(\kappa(x))$。若 $s$ 为多项式函数,则称该压缩器为多项式大小。尽管关于核化的计数类比的研究并非前所未有,但迄今甚少受到关注。我们研究图上的一类顶点认证计数问题,它们是 MSOL-可表达的;即对于一个带一个自由集合变量(解释为顶点子集)的 MSOL-公式 $\phi$,我们希望计数所有满足 $|A|=k$ 且 $(G,A)\models \phi$ 的 $A\subseteq V(G)$。本文证明,每一个在图上 MSOL-可表达且树宽可模(treewidth modulable)的顶点认证计数问题,当以 $k$ 为参数时,在 $H$-拓扑次图自由图上存在一个多项式大小压缩器,其冷凝时间为 $O(k^2n^2)$,解码时间为 $2^{O(k)}$。这意味着存在一个运行时间为 $O(n^2k^2)+2^{O(k)}$ 的 {\sf FPT}-算法。上述所有复杂性均基于均匀代价度量(Uniform Cost Measure, UCM)模型,其中数字可存于常数空间且算术运算可在常数时间内完成。