离线与在线优化中可行集的曲率

已知凸优化中可行集的曲率可带来具有更优收敛速率的算法，并且近来对于离线与在线问题该话题都重新引起关注。在本文中，借助几何与凸分析的结果，我们深化了对曲率在优化中作用的理解：- 我们首先证明了两种曲率概念即强凸性与规范体（gauge bodies）的等价性，证实了 Abernethy 等人的猜想。由此表明，Wang 与 Abernethy 的 Frank-Wolfe 型方法在强凸可行集上具有加速收敛速率 $O(\frac{1}{t^2})$，且对（凸）目标函数无需额外假设。- 在在线线性优化中，我们识别出两个主要性质，有助于解释 Follow the Leader（FTL）在强凸集上为何/何时仅有对数后悔（regret）。这使得人们可以直接恢复 Huang 等人的近期结果，并表明当收益向量非负时，FTL 在强凸集上具有对数后悔。- 我们提供了一种高效过程，通过平滑权衡近似误差与曲率，用强凸体近似凸体。这使得人们能将强凸集上的改进算法推广到一般凸集。作为一个具体应用，我们将 Dekel 等关于带提示（Hints）的在线线性优化的结果推广到一般凸集。