凸优化与嵌套演化可行集

考虑凸优化问题CONES，其中目标函数$f$保持不变，但可行区域随时间演化为嵌套序列$S_1 \supseteq S_2 \supseteq \cdots \supseteq S_T$。在线算法的目标是同时最小化对照静态最优基准的后悔值以及总体移动成本，同时确保始终满足可行性。CONES是已知嵌套凸体追逐问题的一个优化导向的推广。当损失函数为凸函数时，我们提出了一个懒惰算法，证明其在时间区间$[0,T]$内，对任意$\beta \in (0,1]$，可同时实现$O(T^{1-\beta})$级后悔值和$O(T^\beta)$级移动成本。当损失函数为强凸或$\alpha$-锐利时，我们提出了一个Frugal算法，同时实现零后悔和$O(\log T)$级移动成本。为此，我们证明任何具有$o(T)$后悔值的在线算法，其移动成本在两种情况下均为$\Omega(\log T)$，从而证明Frugal算法的最优性。