对费曼传播子与 $\E \cdot x$ 规范之批判

考虑莫勒散射。动量为 $p$ 与 $-p$ 的电子通过沿 $z$ 方向交换光子散射至 $p+q$ 与 $-(p+q)$。散射振幅是众所周知的，由费曼传播子给出 $\M = \frac{(e \hbar c)^2}{\epsilon_0 V} \frac{\bar{u}(p+q) \gamma^{\mu} u(p) \ \bar{u}(-(p+q)) \gamma_{\mu} u(-p)}{q^2}$，其中 $V$ 为散射电子的体积，$e$ 为基本电荷，$\epsilon_0$ 为真空介电常数。但这并不完全正确。由于我们沿 $z$ 方向交换光子动量，我们有两个光子偏振 $x,y$，因此真实的散射振幅应为 $$\M_1 = \frac{(e \hbar c)^2}{\epsilon_0 V} \frac{ \bar{u}(p+q) \gamma^{x} u(p) \ \bar{u}(-(p+q)) \gamma_{x} u(-p)\ \ + \bar{u}(p+q) \gamma^{y} u(p) \ \bar{u}(-(p+q)) \gamma_{y} u(-p) \ }{q^2}.$$ 但当电子为非相对论性时，$\M_1 \sim 0$。这令人困扰，我们如何得到库仑势，其中 $\M \sim \frac{(e \hbar c)^2}{\epsilon_0 V q^2}$。问题出在哪里？问题出在狄拉克方程的规范上。对于沿 $z$ 方向的平面波，电场为 $E_x \sin (kz - \omega t)$，洛伦兹规范为 $$(A_0, A_x, A_y, A_z) = \frac{E_x}{\omega} \cos(kz-\omega t)(0, 1, 0, 0)$$。但该规范不适合计算光学跃迁，因为我们得不到拉比频率 $q E_x d$（$d$ 为电偶极矩）。我们得到的是小几个数量级的结果。它也不适合计算电子-电子散射，因为我们得不到库仑势。我们得到的是小几个数量级的结果。相反，我们采用 $\E \cdot x$ 规范 $$(A_0, A_x, A_y, A_z) = \frac{-E_x}{2} ( x\ \sin(kz-\omega t), -\frac{\cos(kz-\omega t)}{\omega}, 0, \frac{x}{c} \sin(kz-\omega t) )$$（$c$ 为光速）以求得一切正确。我们得到的是新的传播子。