关系连接的覆盖问题

在本文中，我们开启了对所谓连接覆盖问题的理论研究。给定一个关于 $n$ 个属性和 $m$ 个关系 $(R_i)_{i \in [m]}$ 的自然连接查询实例 $Q$。令 $J_{Q} = \Join_{i=1}^m R_i$ 表示 $Q$ 的连接输出。除 $Q$ 外，给定一个参数 $\Delta: 1\le \Delta\le n$，我们的目标是计算最小子集 $\mathcal{T}_{Q, \Delta} \subseteq J_{Q}$，使得 $J_{Q}$ 中每个元组与 $\mathcal{T}_{Q, \Delta}$ 中某个元组的汉明距离在 $\Delta - 1$ 以内。连接覆盖问题将数据库理论中的自然连接计算与编码理论中覆盖半径为 $\Delta - 1$ 的覆盖码构造作为特例涵盖。我们考虑连接覆盖问题的组合版本，目标是依据 $Q$ 的结构与 $\Delta$ 的值确定最坏情况下的 $|\mathcal{T}_{Q, \Delta}|$。对 $|\mathcal{T}_{Q, \Delta}|$ 做上界估计的一个显然方法是利用编码理论中汉明距离的距离性质，并将其与 Atserias、Grohe 和 Marx [SIAM J. of Computing'13] 给出的自然连接输出规模最坏情况界（以下称 AGM 界）结合。有些令人意外的是，即便输入关系元数至多为二，该方法也不紧。相反，我们证明用 Abo Khamis、Ngo 和 Suciu [PODS'17] 的基于多拟阵度的界替代 AGM 界，可对元数为二情形的 $|\mathcal{T}_{Q, \Delta}|$ 给出紧界（差常数因子）。我们利用著名的纠错码类（如 Reed-Solomon 码）证明 $|\mathcal{T}_{Q, \Delta}|$ 的下界。我们可将元数为二情形的结果推广到一般元数，此时上下界间存在多项式间隙。