带约束的圆形圆盘序列对平面的覆盖

我们关注以下用一列全等圆形圆盘覆盖平面且对相邻圆盘间距离施加约束的问题。设 $(\mathcal{D}_n)_{n \in \mathbb N}$ 为一列闭单位圆形圆盘，满足 $\cup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{D}_n = \mathbb {R}^2$，且条件为对 $n \ge 2$，圆盘 $\mathcal{D}_n$ 的圆心位于 $\mathcal{D}_{n-1}$ 中。对所有 $n \in \mathbb{N}$，放置 $\mathcal{D}_n$ 的“最经济”或最优方式是什么？我们在不允许“急”转弯的情形下回答了该问题，即若 $C_n$ 为圆盘 $\mathcal{D}_n$ 的圆心，则对所有 $n \ge 2$，$\angle C_{n-1}C_nC_{n+1}$ 不太小。我们还考虑了一个相关问题：我们希望找到用单位圆形圆盘覆盖平面的一种最优方式，约束为每个圆盘包含至少另外两个圆盘的中心。我们在圆盘中心构成二维格点的情形下给出了答案。