Hamming 空间与 Grassmann 空间中的覆盖：新界与基于 Reed-Solomon 的构造

我们通过统一的编码理论与信息论框架研究 Hamming 空间和 Grassmann 空间中的覆盖问题。将一般度量空间中的覆盖视为一种量化，我们引入平均覆盖半径的概念作为平均失真的自然度量，以补充经典的 worst-case 覆盖半径。利用 one-shot rate-distortion 理论的工具，我们导出了两个空间中平均覆盖半径的显式非渐近随机编码界，作为基本的性能基准。在构造方面，我们为 Hamming 空间中的广义 Reed-Solomon (GRS) 码开发了高效的基于打孔的覆盖算法，并将其扩展到称为 character-Reed-Solomon (CRS) 码的一族新的子空间码，用于弦距离下的 Grassmann 量化。我们的结果表明，尽管 worst-case 覆盖保证较差，但这些结构化码展现出优异的平均覆盖性能。特别是，Hamming 空间中的数值结果表明，基于 RS 的构造在平均覆盖半径方面通常优于随机码本。在一维 Grassmann 空间中，我们数值上证明了素域上的 CRS 码在高码率情形下渐近达到随机编码界常数因子范围内的平均覆盖半径。这些结果为代数结构在覆盖问题和高维量化中的作用提供了新见解。