按内积计数短向量对及其与积和式的关联

给定输入为两个 $n$ 元集合 $\mathcal A,\mathcal B\subseteq\{0,1\}^d$,其中 $d=c\log n\leq(\log n)^2/(\log\log n)^4$,以及目标值 $t\in \{0,1,\ldots,d\}$,我们展示了如何确定性地计数满足整数内积 $\langle x,y \rangle=t$ 的向量对 $(x,y)\in \mathcal A\times \mathcal B$ 的数目,所用时间为 $n^2/2^{\Omega\bigl(\!\sqrt{\log n\log \log n/(c\log^2 c)}\bigr)}$。这表明人们可以在确定性亚二次时间内求解该问题,维度几乎可达 $\log^2 n$,几乎匹配 Alman 与 Williams [FOCS 2015] 的亚二次随机检测算法的维度界限。我们还展示了如何修改他们的随机算法以高概率(w.h.p.)计数这些向量对,从而获得一种快速的随机算法。我们的确定性算法建立在一类通过素数剩余由和聚合重构函数的新技术之上,该技术可视为中国剩余定理的{\em 加法}类比。作为我们的第二项贡献,我们将按内积计数向量对任务的细粒度复杂度与计算零一矩阵在整数上的积和式任务相关联。