稀疏 Butson 矩阵的计数结果

部分 Butson 矩阵是指行两两正交的矩阵 $H\in M_{M\times N}(\mathbb Z_q)$，其中 $\mathbb Z_q\subset\mathbb C^\times$ 是 $q$ 次单位根群。本文研究了这些矩阵在“稀疏”情形下的计数问题，即 $M=2,3,\ldots$ 较小且 $N\to\infty$（当 $q=p^k>2$ 时需满足条件 $N\in p\mathbb N$）。证明灵感来源于 de Launey-Levin 和 Richmond-Shallit 的计数结果。