凸性与退化特殊拉格朗日方程

2015年，Rubinstein--Solomon 引入了退化特殊拉格朗日方程 (DSL)，该方程支配正拉格朗日空间中的测地线，证明了 DSL 顶分支的下解在空间上是凸的，并提出了这些下解是否应在时空上凸以及第二分支的下解是否具有任何凸性的问题。2019年，Darvas--Rubinstein 通过证明顶分支的下解必须是双凸的，对第一个问题给出了部分回答。我们解决了这两个问题。关键的新要素是一种时空坐标变换，它保持了时空拉格朗日角并允许进行偏 $C^2$ 估计。这也表明 DSL 下方程的顶部两个分支在 Ross--Witt-Nyström 的意义下具有 $\star$ 积结构。