图谱网络快速边界衰减速率下的排序、测试与估计程序的收敛速率

在潜位随机图模型(LPM)中, 潜位顶点 $U_{1},\ldots,U_{n}$ 从某分布中采样于潜空间 $\Omega$, 然后以某概率 $\mathbb{P}[(i,j) \in E ]=w(U_i,U_j)$ 采样观察图 $G=([n],E)$ 的边, 该概率取决于未观测的潜位。LPM 在网络统计分析中屡见不鲜, 其提供的模型在经验性能、理论保证和可计算算法方面表现良好。特殊情况 $\Omega=[0,1]$ 很重要, 因为它对应于具有时间或偏好结构的图。本文我们研究三个与 $[0,1]$ 潜空间的 LPM 有关的问题: \textit{排序}按潜位对顶点进行排序, \textit{估计}生成图谱 $w$, 和 \textit{测试}观察图 $G$ 是否可能来自潜空间为 $[0,1]$ 的 LPM。我们的结果大大概括了 Janssen/Smith (2022) 的两个观察: (i) 对于\textit{某些}图谱族, 最佳排序估计的收敛远快于常规统计速率 $\frac{1}{\sqrt{n}}$; (ii) 即使对于相同的图谱族, 最佳潜位估计仍以常规 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 速率进行。作为主要结果, 我们发展了一个计算高效图谱估计算法, 并展示其具有与 Gao 等人 (2015) 的非显式最优算法相同的收敛速率。我们还推导并分析了一个测试程序。