高斯 ODE 滤波器的收敛速率

一类最近引入的用于常微分方程（ODEs）的概率（不确定性感知）求解器将高斯（卡尔曼）滤波应用于初值问题。这些方法将真实解 $x$ 及其前 $q$ 阶导数 \emph{先验} 建模为高斯--马尔可夫过程 $\boldsymbol{X}$，然后迭代地以关于 $\dot{x}$ 的信息为条件。本文建立了这类高斯 ODE 滤波器的广泛版本的最坏情形局部收敛速率为 $q+1$ 阶，以及在 $q=1$ 且为积分布朗运动先验情形下的全局收敛速率为 $q$ 阶，并分析了来自 $f$ 的近似求值的关于 $\dot{x}$ 的不准确信息如何影响这些速率。此外，我们表明，在全局收敛情形下，后验可信区间在校准良好的意义上全局地以与截断误差相同的速率收缩。我们通过数值实验说明了这些理论结果，这可能表明它们对 $q \in \{2,3,\dots\}$ 的可推广性。