一种多目标近端梯度方法的收敛速率分析

在过去二十年中，许多用于多目标优化的下降算法已被提出。Tanabe等人（Comput Optim Appl 72(2):339--361, 2019）提出了一种多目标优化的近端梯度方法，该方法可求解目标函数为连续可微函数与闭的、正常的、凸函数之和的多目标问题。在合理假设下，已知该方法所生成序列的聚点为帕累托驻点。然而，该论文未建立收敛速率。本文给出了多目标近端梯度方法的全局收敛速率，与标量优化中已知结果一致。更具体地，通过使用优值函数度量复杂度，我们给出了非凸（$O(\sqrt{1 / k})$）、凸（$O(1 / k)$）和强凸（对某个 $r \in (0, 1)$ 为 $O(r^k)$）问题的收敛速率。我们还推广了所谓的多目标优化Polyak-Łojasiewicz（PL）不等式，并建立了满足此类不等式的多目标问题的线性收敛速率（对某个 $r \in (0, 1)$ 为 $O(r^k)$）。