幂律度分布随机图上的接触过程临界值为0

如果我们在具有幂律度分布的n顶点随机图上考虑感染率为$\lambda$的接触过程，平均场计算表明，当幂次$\alpha>3$时，感染率的临界值$\lambda_c$为正。物理学家似乎将此视为既定事实，因为该结果最近已被Gómez-Gardeñes等人[Proc. Natl. Acad. Sci. USA 105 (2008) 1399--1404]推广到了二部图。在此，我们证明对于任意$\alpha>3$，临界值$\lambda_c$均为零，并且从所有顶点被感染开始，随着$n\to\infty$，接触过程以趋于1的概率在至少$\exp(n^{1-\delta})$（对于任意$\delta>0$）的时间内维持正的感染位点密度。利用后一结果以及接触过程的对偶性，我们可以确立拟平稳分布的存在性，在该分布中随机选取的一个顶点被占据的概率为$\rho(\lambda)$。预期当$\lambda \to0$时，$\rho(\lambda)\sim C\lambda^{\beta}$。这里我们证明$\alpha-1\le\beta\le2\alpha-3$，因此对于$\alpha>3$有$\beta>2$。因此，即使该图局部呈树状，$\beta$也不取平均场临界值$\beta=1$。