超立方体和规则二分图中的完全独立生成树的构造与条件

若一个图 G 中的 k 棵生成树满足：对于任意一对顶点 x 和 y，这 k 条连接 x 和 y 的路径在除 x 和 y 本身外不共享任何顶点或边，则称其为完全独立生成树（CISTs）。Hasunuma 猜想：每个 2k 连通图恰好包含 k 棵完全独立生成树（CISTs）。然而，P\'et\'erfalvi 已驳斥了此猜想。当 k=2 时，两棵 CIST 称为双 CIST。已知，判定图是否可以拥有 k 棵 CIST 是 NP 难题，即便 k=2 时亦然。2017 年，Darties 等人提出：6 维超立方体 Q_6 是否可以拥有三棵完全独立生成树（CISTs）？本文给出该问题的答案。本文首先给出 k regular、k-connected 二分图拥有 \lfloor k/2 \rfloor 棵 CIST 的必要条件。我们还证明，维数为 n 的超立方体不可能拥有 n/2 棵 CIST，这意味着当 n 为偶数且 2 < n \leq 10^7 时，Hasunuma 的猜想在超立方体 Q_n 中不成立，除非 n=2^r 且 n \in \{161038, 215326, 2568226, 3020626, 7866046, 9115426 \}。该结果也解决了 Darties 等人提出的问题。多个 CIST 在网络底图上的构建在确保数据传输容错性方面具有实际应用。本文还提供一种在超立方体 Q_n 中构造三棵完全独立生成树的方法，适用于 n \geq 7。我们的结果表明，Hasunuma 的猜想在 Q_n 中奇数 n=7 时成立，但在偶数 n=6 时不成立。