为贝叶斯逆问题构建结构化张量先验

指定先验分布是求解贝叶斯逆问题的重要组成部分。先验编码了对解的性质的信念，并对问题进行正则化。在本文中，我们完整刻画了一个编码解为结构化张量这一信念的高斯先验。我们首先定义了(A,b)-约束张量的概念，并表明它们描述了多种不同的结构，如Hankel、循环、三角、对称等。然后，我们通过指定其均值向量和协方差矩阵，完整刻画了此类张量的高斯概率分布。此外，对于条目在置换下不变的张量，我们证明了其协方差矩阵的显式表达式。这些结果解锁了一类全新的贝叶斯逆问题先验。我们展示了如何设计并高效计算新的核函数，并将我们的结果应用于两个特定的贝叶斯逆问题：从少量含噪测量中完成Hankel矩阵，以及学习手写数字的图像分类器。所提出的先验在两个问题上的有效性均得到了验证。所有应用均已实现为Julia中的响应式Pluto笔记本。