埃拉托斯特尼筛中的间隔星座

几年前，我们确定了一个直接作用于埃拉托斯特尼筛各阶段生成元之间间隔的递推关系。该递推给出了生成元间间隔序列的显式枚举，这些序列被称为星座。在过去一年中，我们确定了一个离散线性系统，它精确地对筛所有阶段中任一间隔的种群进行建模。2014年8月，我们总结了通过分析该离散模型得到的关于单间隔种群的结果。本文扩展该离散系统以建模间隔星座的种群。最显著的结果是一个关于等差数列的强Polignac结果。我们此前已确立埃拉托斯特尼筛满足与Polignac猜想等价的命题——即每个偶数都作为筛中的一个间隔出现，且其种群收敛于Hardy和Littlewood猜想B所隐含的比例。将该工作扩展到星座，我们在此确立：对于任意偶间隔$g$，若$p$是满足$p\# \; | g$的最大素数，且$P$是大于$p$的下一个素数，则对于每个$2 \le j_1 < P-1$，长度为$j_1$的星座$g,g,\ldots,g$出现在埃拉托斯特尼筛中。该星座对应于$j_1+1$个连续候选素数构成的等差数列。