$K$均值聚类的一致性与不一致性

Pollard 证明了在总体分布具有有限方差时，$k$均值聚类具有渐近一致性。本文指出，总体层面的$k$均值聚类问题实际上在总体期望有限的弱假设下就已是 well-posed 的，我们进而探讨了在此设下是否存在某种渐近一致性。我们在多种负面结果中展示了这一完整故事相当微妙；例如，经验$k$均值聚类中心可能即使存在唯一的一组总体$k$均值聚类中心也可能发散。我们对负面结果的详细分析揭示，不一致性是由于一种极端的聚类不平衡导致的，即离群样本的存在导致某些经验$k$均值聚类拥有极少的点。随后，我们给出一系列正面结果，表明在仅依赖总体期望有限的假设下，通过对经验$k$均值聚类的事先程度平衡可恢复某些形式的渐近一致性。