共形对称破缺与自相似螺旋

自相似曲线是自然中反复出现的母题。共形不变能量的无张力稳态描述了此类形式的最简单曲线。例如，平面对数螺旋与共形弧长相关；其独特性质反映了对称性及其破缺方式。在三维中构造其类似物则不那么简单。这些态的定性行为由两个参数控制：守恒的标度流 $S$ 与转矩大小 $M$。它们的守恒决定了曲率与挠率。若螺旋顶点位于原点，则守恒的特（special）共形流为零。当 $M$ 与 $S$ 调谐至 $4MS =1$ 时出现平面对数螺旋。更一般地，螺旋呈现内部结构，在沿转矩轴对齐的两个固定锥之间章动。当此图样绕该轴进动时，其单调扩张。若螺旋为超临界（$4MS>1$），两锥相同且反向。挠率在沿转矩轴的投影反转处变号，螺旋在每次章动内先朝一个方向扭转再朝另一方向。这些基本螺旋为理解自然中广泛出现的自相似空间螺旋图样提供了模板。特别地，超临界轨迹相当好地近似了达尔文首次描述的攀缘植物中生长卷须的章动顶端。