共形测度刚性与水平球面叶理的遍历性

本文证明了两个主要定理：共形测度刚性和水平球面叶理的遍历性，尤其是在高秩情形下。这两个定理即使对于相对 Anosov 子群也是新的。首先，我们针对散度型秩一离散子群的表示，建立了 Sullivan、Tukia、Kim-Oh 刚性定理的高秩推广，该推广涉及共形测度通过边界映射的推前。我们考虑了一类特定的高秩离散子群，称之为超横截子群。它包含所有秩一离散子群、Anosov 子群、相对 Anosov 子群及其子群。我们刚性定理的证明将 Kim-Oh 的思想推广到高秩超横截子群的自连接，克服了对称空间上 $\mathrm{CAT}(-1)$ 几何的缺失。与 Sullivan、Tukia 和 Yue 的工作不同，我们的论证与水平球面叶理的研究密切相关。我们还证明了水平球面叶理关于 Burger-Roblin 测度的遍历性。这推广了 Hedlund、Burger 和 Roblin 在秩一情形以及 Lee-Oh 在高秩 Borel Anosov 子群情形的经典工作。此外，当给定的抛物子群是极小时，我们描述了 Burger-Roblin 测度和 Bowen-Margulis-Sullivan 测度的遍历分解。