共形振幅层级与庞加莱圆盘

本文将 2d $O(n)$ 模型共形场论中基本场四点函数的单态通道振幅作为 $n$ 的函数进行研究。对于 $n$ 的一般值，该四点函数具有无穷多个振幅，其图景可能非常尖锐，因为高阶振幅在简单极点处多次改变符号，这推广了能量算符振幅在 $n=0$ 处的唯一极点。在以 $\pi$ 为单位的角度对 $n$ 的标准参数化中，我们发现零点和极点出现在有理角处，形成了庞加莱圆盘固有的层级树结构。本文提出了振幅与 Farey 路径（访问这些零点和极点的分段测地线）之间的某种关系。在这一层级中，$SL(2,\mathbb{Z})$ 的同余子群 $\Gamma(2)$ 的对称性自然产生于有理角的两个明显不同的奇/偶类，在其中分别得到了截断算符代数和对数四点函数。