加权复杂网络上守恒质量聚集模型的凝聚现象

我们研究了加权无标度网络（WSFNs）上守恒质量聚集（CA）模型的凝聚相变。在 WSFNs 中，节点 $i$ 与 $j$ 之间的连边被赋予权重 $w_{ij}$。我们考虑对称权重 $w_{ij}=(k_i k_j)^\alpha$。在 CA 模型中，随机选定的节点 $i$ 上的质量 $m_i$ 以速率 $T_{ji}$ 扩散至其相连的邻居节点 $j$，或者以速率 $\omega T_{ji}$ 从节点 $i$ 剥离一个单位质量至节点 $j$。跃迁概率 $T_{ji}$ 定义为 $T_{ji}= w_{ji}/\sum_{<l>} w_{li}$，其中求和遍历节点 $i$ 的所有相连邻居。在 WSFNs 上，我们通过数值模拟表明存在一个临界值 $\alpha_c$，当 $\alpha < \alpha_c$ 时，CA 模型经历与规则晶格上 CA 模型相同类型的凝聚相变。然而，当 $\alpha \geq \alpha_c$ 时，对于任意密度 $\rho$ 和 $\omega$，凝聚总是发生。我们在度指数为 $\gamma$ 的 WSFN 上解析求得 $\alpha_c = (\gamma-3)/2$。为了获得 $\alpha_c$，我们解析推导了在度为 $k$ 的节点上发现行走者的稳态分布 $P^{\infty}_k$ 的标度行为，以及在度为 $k$ 的同一节点上同时发现两个行走者的概率 $D(k)$。我们发现 $P^{\infty}_k \sim k^{\alpha+1-\gamma}$ 且 $D(k) \sim k^{2(\alpha+1)-\gamma}$。利用 $P^{\infty}_k$，我们还通过解析和数值方法证明，对于任意 $\rho$，度为 $k$ 的节点上的平均质量 $m(k)$ 按 $k^{\alpha+1}$ 标度，且在网络最大度处没有任何跳跃，这与 $\alpha=0$ 的无标度网络（SFNs）情况一致。