Berry 相位估计的计算复杂性：拓扑相物质中的新结果

Berry 相位是拓扑相物质分类中的基本量。本文提出一种新型量子算法及若干复杂度理论结果，用于 Berry 相位估计（BPE）问题。我们的新型量子算法在更广泛的情境下实现 BPE，且具备理论保证。对于复杂度理论结果，我们考虑三种情况。首先，我们证明当给定的引导态与基态重叠度较大时，问题为 $\mathsf{BQP}$-complete，这一结果为 Berry 相位估计建立了指数级量子加速。其次，我们证明若先验知道基态能量上界，问题为 $\mathsf{dUQMA}$-complete。其中，$\mathsf{dUQMA}$ 是 unique witness 版本 $\mathsf{QMA}$（即 $\mathsf{UQMA}$）的一种变体，我们在本文中引入该类，此类恰好捕获无已知引导态时的 BPE 问题。令人惊讶的是，该问题竟成为首个同时包含在 $\mathsf{UQMA}$ 和 $\mathsf{co}$-$\mathsf{UQMA}$ 中的自然问题。第三，我们展示在无额外假设时，问题为 $\mathsf{P}^{\mathsf{dUQMA[log]}}$-hard，且包含在 $\mathsf{P}^{\mathsf{PGQMA[log]}}$ 中。这些结果推进了量子计算在拓扑相物质研究中的作用，为澄清拓扑相物质与计算复杂度之间的联系提供了路径。