四量子比特系统格林伯格-霍恩-蔡林格定理的完整证明

格林伯格-霍恩-蔡林格（GHZ）定理断言，存在一组相互对易的非局域可观测量，其具有一个共同本征态，在这些可观测量于该态上所取的值驳斥了仅依据爱因斯坦、波多尔斯基和罗森（EPR）的局域实在论而尝试赋予其值的做法。已知对于三量子比特系统，除差一个局域酉变换的等价性外，只有一种形式的类 GHZ-Mermin 论证，即恰好是 Mermin 版的 GHZ 定理。然而本文中，对于最初由 GHZ 研究的四量子比特系统，我们展示存在九种不同形式的类 GHZ-Mermin 论证。该证明通过使用某些几何不变量来刻画四量子比特系统上相互对易的非局域自旋可观测量集合而获得。证明了在四量子比特系统中，相互对易的非局域自旋可观测量集合（除符号不同外）至多含九个元素，且每个类 GHZ-Mermin 论证都涉及一组至少五个相互对易的四量子比特非局域自旋可观测量，并以 GHZ 态作为 GHZ 定理中的共同本征态。因此，我们给出了四量子比特系统 GHZ 定理的完整构造。