锥凸规划的一阶不精确拉格朗日与罚函数法的复杂度

本文对用于求解锥约束凸问题的不精确一阶拉格朗日与罚函数法给出了完整的迭代复杂度分析，此类问题具有或可能不具有能闭合对偶间隙的最优拉格朗日乘子。我们首先假设存在最优拉格朗日乘子，并研究基于不精确信息和增广拉格朗日光滑化或 Nesterov 型光滑化的原始-对偶一阶方法。对于不精确（快速）梯度增广拉格朗日法，我们推导出在简单原始集上 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\epsilon}\right)$ 次投影的总计算复杂度，以得到锥凸问题的 $\epsilon-$最优解。对于结合 Nesterov 型光滑化的不精确快速梯度法，我们推导出在同一集上 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\epsilon^{3/2}}\right)$ 次投影的计算复杂度。接着，我们假设锥约束凸问题的最优拉格朗日乘子可能不存在，并分析用于求解该问题罚函数重构的快速梯度法。对于结合罚函数框架的快速梯度法，我们也推导出在简单原始集上 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\epsilon^{3/2}}\right)$ 次投影的总计算复杂度，以得到原始问题的 $\epsilon-$最优解。