列基约化与可分解背包问题

我们提出了一种用于整数规划可行性问题的非常简单的预处理方法：将问题 $b' \le Ax \le b, x \in \mathbb{Z}^n$ 替换为 $b' \le AUy \le b, y \in \mathbb{Z}^n$，其中 $U$ 是通过基约化计算得到的单模矩阵，旨在使 $AU$ 的列变短且近乎正交。该重构被称为值域重构 (rangespace reformulation)。其动机源于 Aardal、Hurkens 和 Lenstra 为等式约束整数规划提出的重构技术。我们还研究了一类称为可分解背包问题 (DKPs) 的整数规划实例族。DKPs 推广了由 Jeroslow、Chvatal 和 Todd、Avis、Aardal 和 Lenstra 以及 Cornuejols 等人提出的实例。DKPs 是具有形式为 $pM + r$ 的约束向量的背包问题，其中 $p > 0$ 且 $r$ 为整向量，$M$ 为大整数。若在 DKPs 中适当选择参数，我们证明：1) 当应用对单个变量进行分支的分支定界法时，这些问题具有难解性；2) 若改为对约束 $px$ 进行分支，则它们是易解的；3) 在值域重构或 AHL 重构中对最后几个变量进行分支，等价于在原问题中对 $px$ 进行分支。我们还提供了生成此类实例的方法。我们的计算研究证实，所研究实例在实际中的表现与理论结果预测一致。