基约化与分支定界的复杂度

用于整数可行性问题的经典分支定界算法具有指数级的最坏情况复杂度。我们证明，该算法在重构后的问题上出奇地高效，其中约束矩阵的列是短且接近正交的，即所生成格的一个约化基；当A（约束矩阵的稠密部分）的条目取自{1, ..., M}且M足够大时，分支定界法在根节点处就能解决几乎所有重构后的实例。我们还证明了沿最后一个单位向量的重构宽度的上界。该分析基于Furst和Kannan的思想，用于限定某些格的最短向量为长向量的整数矩阵数量，并且还使用了基于约束矩阵Gram-Schmidt向量范数的分支定界树规模的上界。我们探讨了这些结果的实际方面。首先，我们计算了保证90%和99%的重构问题在根节点处求解的M的数值：当问题规模适中时，这些数值出奇地小。其次，我们通过计算研究证实，随着系数的增长，随机整数规划问题变得更容易求解。