坍缩高塔——论多阶段随机整数规划的复杂性

本文研究一类分块结构整数规划（IP）——即所谓多阶段随机 IP——的计算复杂性。多阶段随机 IP 是形如 $\max \{ c^T x \mid \mathcal{A} x = b, \,l \leq x \leq u,\, x\text{ integral} \}$ 的 IP，其中约束矩阵 $\mathcal{A}$ 由排布在对角线上的小分块矩阵构成，且每一阶段存在少量列连接各分块、呈树状结构的大分块。近年来分块结构 IP 领域取得巨大进展。对于诸多已知分块 IP 类——如 $n$-fold、tree-fold 及两阶段随机 IP——其计算复杂性的上下界已近乎匹配。然而遗留的主要空白之一是求解多阶段随机 IP 算法运行时间中的参数依赖。既往算法需要 $t$ 层指数塔（$t$ 为阶段数），而仅知双指数下界。本文表明 $t$ 层指数塔实非必要。我们给出了求解多阶段随机 IP 的改进运行时间 $2^{(d\||A||_\infty)^{\mathcal{O}(d^{3t+1})}} \cdot poly(d,n)$，其中 $d$ 为连接分块列数之和，$n$ 为最底阶段分块数。与既往工作不同，我们的算法仅对参数有三重指数依赖，且对任一常数 $t$ 仅为双重指数依赖。由此我们非常接近已知的对两阶段随机 IP（即仅两阶段的多阶段随机 IP）成立的双指数界（基于指数时间假设）。