关于两阶段随机整数规划的复杂性

我们考虑所谓的两阶段随机整数规划（IP）及其推广形式多阶段随机 IP。两阶段随机 IP 是形如 $\max \{ c^T x \mid Ax = b, l \leq x \leq u, x \in \mathbb{Z}^{nt + s} \}$ 的整数规划，其中约束矩阵 $A \in \mathbb{Z}^{r \times s}$ 大致由块矩阵 $A$ 在竖线上的 $n$ 次重复以及矩阵 $B \in \mathbb{Z}^{r \times t}$ 在对角线上的 $n$ 次重复构成。本文改进了 Hemmecke 与 Schultz 于 2003 年提出的解两阶段随机 IP 的算法结果。该算法基于 Graver 增广框架，我们的主要贡献是给出增广步长大小的显式双指数界。此前增广步长大小的界依赖于交换代数中非构造性的有限性论证，因此仅知依赖于参数 $r,s,t$ 和 $\Delta$ 的隐式界，其中 $\Delta$ 为约束矩阵的最大元素。然而，我们的新改进界通过一则论述向量空间中路径相交的新定理获得。作为新界的结果，我们得到在 $poly(n,t) \cdot f(r,s,\Delta)$ 时间内求解两阶段随机 IP 的算法，其中 $f$ 为双指数函数。为补充我们的结果，我们还证明了增广步长大小的双指数下界。