CM椭圆曲线：火山结构、实性与应用，第二部分

设 $M \mid N$ 为正整数，并设 $\Delta$ 为一虚二次域 $K$ 中某阶的判别式。当 $\Delta_K < -4$ 时，第一作者确定了态射 $X_0(M,N) \rightarrow X(1)$ 在对应于 $\Delta$ 的闭点 $J_{\Delta}$ 上的纤维，并证明了映射 $X_1(M,N) \rightarrow X_0(M,N)$ 在 $J_{\Delta}$ 上的所有纤维均为连通的。此处我们通过处理最困难的情形 $\Delta_K \in \{-3,-4\}$ 来补充这一先前工作。这些工作提供了计算以下内容所需的全部信息：对每个正整数 $d$，以及次数为 $d$ 的数域 $F$ 和具有复乘的椭圆曲线 $E_{/F}$，计算 $E(F)[\operatorname{tors}]$ 的所有子群。