聚类稀疏性与 Cartoon 和 Texture 的分离

自然图像通常是 cartoon 和 texture 结构的复合。例如，一幅医学图像可能显示灰质和颅盖的混合。一个常见任务是将这样的图像分离为两幅单独的图像，一幅包含 cartoon 部分，另一幅包含 texture 部分。最近，引入了一类利用稀疏逼近和 $\ell_1$ 最小化来解决此问题的强大算法，并已获得了许多富有启发性的经验结果。在本文中，我们首次在模型情形下对使用此类算法分离 cartoon 和 texture 结构的组合进行了全面的理论研究。我们考虑的方法将图像在由 curvelet 紧框架和 Gabor 紧框架组成的组合字典中进行展开，并在分析侧最小化 $\ell_1$ 范数。稀疏逼近特性随后将 cartoon 分量强制归入 curvelet 系数，将 texture 分量归入 Gabor 系数，从而实现图像分离。利用系数在几何上聚类的事实，我们证明了在足够精细的尺度下，任意精确的分离都是可能的。我们分析的主要组成部分是聚类相干性和聚类/几何稀疏性的新颖概念。我们的分析还深入理解了何时分离仍然是可能的。