通过扰动闭合 SDP 的对偶间隙

设 $({\bf P},{\bf D})$ 为一对原始-对偶 SDP，具有非零有限对偶间隙。在此情形下，${\bf P}$ 与 ${\bf D}$ 为弱可行的；若我们扰动问题数据以恢复强可行性，则（公共）最优值函数 $v$ 作为扰动的函数在零处（未扰动数据）并未良好定义，因为存在“两个不同的最优值” $v({\bf P})$ 与 $v({\bf D})$，其中 $v({\bf P})$ 与 $v({\bf D})$ 分别为 ${\bf P}$ 与 ${\bf D}$ 的最优值。因此，$v$ 在零处失去连续性，尽管在其他地方连续。尽管如此，我们证明在 ${\bf P}$ 与 ${\bf D}$ 奇异度均为一的假设下，$v$ 的一个极限版本 ${v_a}$ 是一个定义良好的单调递减连续双射函数，以 $[0, \pi/2]$ 为定义域连接 $v({\bf P})$ 与 $v({\bf D})$。定义域 $[0,\pi/2]$ 对应于以某种方式定义的扰动方向。因此，在温和正则条件下，${v_a}$ “完全填补”了非零对偶间隙。我们的结果是紧的，因为存在一个奇异度为二的实例使得 ${v_a}$ 不连续。