广义Sinkhorn极限的闭式解

Kruithof迭代缩放过程，即调整矩阵以满足目标行和列和，是一个长期存在的问题，其极限缺乏一般闭式解。虽然Nathanson在目标行和列和为1时推导了$2\times 2$矩阵的Sinkhorn极限闭式解，而Rowland和Wu最近的工作通过多项式推进了对$3\times 3$以及一般$n\times m$矩阵的Sinkhorn极限的理解，但“广义Sinkhorn极限”（即原始的“Kruithof极限”，具有任意目标总和）仍然难以捉摸。在这里，我们推导了$2\times 2$矩阵的广义Sinkhorn极限的闭式解，并讨论了如何将此方法扩展到更大的矩阵。更重要的是，我们证明了对于任何正$n \times m$矩阵和正目标行和列和，广义Sinkhorn极限中的每个条目在输入数据上是代数的，次数至多为$\binom{n+m-2}{n-1}$。