基于雅可比 theta 函数的二维各向异性有限电阻网有效电阻闭式解析解

计算有限离散电阻网节点之间的有效电阻是电路分析中的经典问题，具有 VLSI 供电网络分析、图论和网络科学等应用。近期进展，特别是无限镜像技术，为有限网格的边界条件提供了优雅的物理解释。建立在此基础上，本文提出一种避免数值截断或多项式拟合的闭式解析表达式。我们的理论发展分为两个步骤：首先，推导积分算子 $\Omega_\alpha$ 中奇异积分项 $R_2$ 的精确解析原始函数；其次，将双无限镜像级数转化为以雅可比 theta 函数 $\vartheta_1$ 表示的紧凑表达式。该转换仅需少数项即可实现机器精度。然而，在高度各向异性情况下，纯解析近似会呈现明显的“十字形”残差误差。为解决此问题，我们引入一种混合工程补偿措施：动态数值缓存执行局部网格积分（LGI），在保持 $O(1)$ 速度的同时实现准近场的精确 accuracy。数值实验表明，与 SPICE 仿真结果相比，平均相对误差低于 0.04%，消除了轴局部化误差特征。为便于进一步研究，本文提出的 2D 电阻网计算器实现已公开发布于：https://github.com/SeaTheDestiny/2D-Resistor-Grid-Calculator.git。