重参数化不变形式下的经典力学与薛定谔方程

任何经典力学系统的动力学都可以用重参数化不变（RI）形式来表述（即我们使用轨迹的参数表示 ${\bf x}={\bf x}(\tau)$, $t=t(\tau)$ 代替 ${\bf x}={\bf x}(t)$）。在这篇教学笔记中，我们讨论力学的 RI 表述下的量子化规则是什么样的。我们指出，在这种情况下，一些规则获得了直观上更清晰的形式。因此，这种表述可以作为教授量子力学基本原理的替代起点。其优点可归纳如下：a) 在 RI 表述中，时间坐标和空间坐标都需量子化。b) RI 表述的规范哈密顿量与量 $\tilde H=p_t+H$ 成正比，其中 $H$ 是初始表述的哈密顿量。由于重参数化不变性，对于任何解，量 $\tilde H$ 都为零，$\tilde H=0$。因此，相应的量子力学算符湮灭波函数，$\hat{\tilde H}\Psi=0$，这正是薛定谔方程 $i\hbar\partial_t\Psi=\hat H\Psi$。作为例证，我们讨论了相对论性粒子的量子力学。