高维回归中的 $\chi^2$ 置信集

我们研究高维回归模型。目标是为给定的一组回归系数构造置信集，将所有其他回归系数视为干扰参数。我们应用以平方根Lasso（square-root Lasso）为初始估计量的一步过程，以及用于构造替代Fisher信息矩阵的多元平方根Lasso。多元平方根Lasso基于带$\ell_1$惩罚的核范数损失。我们证明该过程导出一个渐近$\chi^2$分布的枢轴量，其余项仅依赖于初始估计量的$\ell_1$误差。我们证明在回归系数$\beta^0$的$\ell_1$稀疏条件下，平方根Lasso产生噪声方差的一致估计量，并且我们建立了尖锐的oracle不等式，表明在$\beta^0$的进一步稀疏条件和设计的兼容性条件下余项很小。